まうかめ堂日記

Byrd の Virginal 曲の MIDI を作るのにミーン・トーン音律を計算する必要がでてきました。(いや、別に平均律のままでもいいんですけどね…。折角の機会なので。)

で、今日計算を実行しました。
備忘のため計算のプロセスをメモっておきます。

Cを基準に取ります。各音の振動数をCを1とした比で表すことにします。
まず５度の積み重ね C-G-D-A-E を考えます。純正の５度で積むとこのEは 81/16 になりますが、これをちょっとずらして E=80/16=5 とすると最初のCとこのEの音程はちょうど2オクターブ+純正長三度になります。

中間の G-D-A はこの「2オクターブ+純正長三度」を四等分することで決定します。
すなわち G=⁴√5 (←5の4乗根), D=√5 , A= (⁴√5)³.

全ての音程を最初のCから1オクターブの間に置いておいた方が都合が良いので、適当に2のべき乗で割ってやって1から2の間に入るようにしときましょう。すると

C=1, G=⁴√5 , D=√5/2, A= (⁴√5)³/2, E=5/4.

他の音程はこれら五つの音高から純正長三度だけ上がるまたは下がることによって計算します。(上がるときは5/4を掛ける。下るときは5/4で割る。)
例えば G# は E の純正長三度上なので G#=(5/4)E = (5/4)² = 25/16.
Eb は G の純正長三度下なので Eb = (4/5)G = ⁴√5 ×4/5. 等々。

そのようにして次のような表が得られます。(う〜む、表を入れるとレイアウトが壊れますね。css直すの面倒なのでほっときます。)

G#=25/16	D#=4√5×25/16×1/2	A#=√5/2×25/16	E#= (4√5)3/4×25/16
E=5/4	B=4√5×5/4	F#=√5/2×5/4	C#= (4√5)3/4×5/4
C=1	G=4√5	D=√5/2	A= (4√5)3/2
Ab=4/5×2	Eb=4√5×4/5	Bb=√5×4/5	F= (4√5)3/2×4/5
Fb=16/25×2	Cb=4√5×16/25×2	Gb=√5×16/25	Db= (4√5)3/2×16/25

註：オクターブの範囲に入るように調整してあります。また、理論上はこの表は上下に無限に続けることができます。
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